Question

已知函數f（x）=|2^x-2|，若m≠n，且f（m）=f（n），則m+n的取值范圍是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（2，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（-∞，2）

Answer 1

考點：指數函數的圖像變換

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意f（x）=|2^x-2|，由f（m）=f（n），可得2-2^m=2ⁿ-2，故2^m+2ⁿ=4，
再利用基本不等式求解．

解答： 解：不妨設m＜n，
由f（m）=f（n），可得2-2^m=2ⁿ-2，
∴2^m+2ⁿ=4，
∴4=2^m+2ⁿ=≥2

2m+n

，
當且僅當2^m=2ⁿ時，即m=n時取等號，而m≠n，故上述等號不成立，
∴2^m+n＜4，
∴m+n＜2
∴m+n的取值范圍是（-∞，2）
故選：D．

點評：此題考查了利用絕對值的性質脫去絕對值，同時考查基本不等式的應用，注意，利用基本不等式要驗證等號成立的條件．