Question

6．已知a∈R，函數f（x）=x²-2ax+5．
（1）若不等式f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若a＞1，且函數f（x）的定義域和值域都是[1，a]，求實數a的值；
（3）函數f（x）在區間[1，a+1]的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）利用平頂山列出關系式求解即可．
（2）根據一元二次函數定義域和值域之間的關系進行判斷即可．
（3）對對稱軸分類討論，得到最大值．

解答 解：（1）a∈R，函數f（x）=x²-2ax+5．開口向上，
不等式f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，
可得：4a²-20＜0，解得a∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
（2）函數f（x）=x²-2ax+5的對稱軸為x=a，
則函數在[1，a]上為減函數，
∵函數的值域為[1，a]，
∴f（a）=1，
即a²-2a²+5=1，
即a²=2，
解得a=-$\sqrt{2}$（舍）或a=$\sqrt{2}$．
（3）函數f（x）=x²-2ax+5的對稱軸為x=a，開口向上，
①當a≤1+$\frac{a}{2}$，即a≤2時，f（x）在區間[1，a+1]上的最大值為f（1+a）=6-a²；
②a＞2時，f（x）在區間[1，a+1]上的最大值為f（1）=6-2a．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6-2a，a＞2}\\{6-{a}^{2}，a≤2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數定義域和值域的應用，根據一元二次函數單調性的性質是解決本題的關鍵．