Question

設f（x）=

2x-2-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

，下列四個結論
（1）f（2x）=2f（x）•g（x）；                       （2）g（2x）=2f（x）•g（x）；
（3）f（2x）=[f（x）]²+[g（x）]²；                    （4）g（2x）=[f（x）]²+[g（x）]²
中恒成立的個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據函數f（x）、g（x）的解析式，利用多項式的乘法公式對各個選項中的等式加以驗證，即可得到本題答案．

解答：解：對于（1），f（2x）=

22x-2-2x

2

，
∵f（x）•g（x）=

2x-2-x

2

•

2x+2-x

2

=

22x-2-2x

4

，
∴2f（x）•g（x）=2×

22x-2-2x

4

=

22x-2-2x

2

，得f（2x）=2f（x）•g（x），故（1）正確；
對于（2），由（1）的證明可得g（2x）≠2f（x）•g（x），故（2）不正確；
對于（3），f（x）=

2x-2-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

，
∴[f（x）]²+[g（x）]²=（

2x-2-x

2

）²+（

2x+2-x

2

）²=

2•22x+2•2-2x

4

=

22x+2-2x

2

∵f（2x）=

22x-2-2x

2

，∴f（2x）≠[f（x）]²+[g（x）]²，故（3）不正確；
對于（4），由（3）的證明可得g（2x）=

22x+2-2x

2

=[f（x）]²+[g（x）]²，故（4）正確
綜上所述，正確的結論為（1）（4），共2個
故選：B

點評：本題給出函數f（x）、g（x）的解析式，判斷幾個等式的正確性．著重考查了基本初等函數、函數的對應法則和乘法公式等知識，屬于中檔題．