Question

6．已知點P（x，y）在圓C：x²+（y-1）²=1上運動，則 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 $\frac{y-1}{x-2}$表示圓C：x²+（y-1）²=1上的點P（x，y）與點A（2，1）連線的斜率，設過點A的圓的切線斜率為k，用點斜式求得圓的切線方程，由圓心（0，1）到切線的距離等于半徑求得k的值，可得 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍．

解答 解：由題意可得，則 $\frac{y-1}{x-2}$表示圓C：x²+（y-1）²=1上的點P（x，y）與點A（2，1）連線的斜率，
設過點A的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y-1=k（x-2），即 kx-y-2k+1=0，
由圓心（0，1）到切線的距離等于半徑可得$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故 $\frac{y-1}{x-2}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
故答案為[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．