Question

在△ABC中，邊AC=1，AB=2，角A=

2π

3

，過A作AP⊥BC于P，且

AP

=λ

AB

+μ

AC

，則λμ=

 

．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求出點P的坐標(biāo)，代入

AP

=λ

AB

+μ

AC

，求出λ、μ的值，即得結(jié)果．

解答：解：建立坐標(biāo)系，如圖，；
設(shè)點P（x，y），則

AP

=（x，y），
∵

AB

=（2，0），|

AC

|=1，∠CAB=

2π

3

，∴

AC

=（-

1

2

，

3

2

）；
∴

BC

=

AC

-

AB

=（-

5

2

，

3

2

）；
又∵

AP

⊥

BC

，∴-

5

2

x+

3

2

y=0①；

BP

與

BC

共線，∴

3

2

（x-2）-（-

5

2

y）=0②；
由①②組成方程組，解得x=

3

14

，y=

5 3

14

，
∴

AP

=（

3

14

，

5 3

14

）；
又∵

AP

=λ

AB

+μ

AC

，
∴（

3

14

，

5 3

14

）=λ（2，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（2λ-

1

2

μ，

3

2

μ），
即

2λ- 1 2 μ= 3 14 3 2 μ= 5 3 14

，
解得

λ= 2 7 μ= 5 7

，
∴λμ=

2

7

×

5

7

=

10

49

；
故答案為：

10

49

．

點評：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算以及向量垂直和共線等問題，是綜合性題目．