Question

已知函數(shù)f（x）=3tan（

1

2

x-

π

3

）．
（1）求f（x）的定義域、值域；
（2）討論f（x）的周期性，奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

考點：正切函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由

1

2

x-

π

3

≠

π

2

+kπ，k∈Z，解得x的范圍，可得函數(shù)的定義域，再結(jié)合正切函數(shù)的圖象特征可得值域．
（2）由f（x）的解析式可得周期，再根據(jù)f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），可得f（x）為非奇非偶函數(shù)．由-

π

2

+kπ＜

1

2

x-

π

3

＜

π

2

+kπ，k∈Z，解得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（1）由

1

2

x-

π

3

≠

π

2

+kπ，k∈Z，解得x≠

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴定義域為{x|x≠

5π

3

+2kπ，k∈Z}，值域為R．
（2）f（x）為周期函數(shù)，周期T=

π

1 2

=2π．
再根據(jù)f（-x）=3tan（-

1

2

x-

π

3

）=-3tan（

1

2

x+

π

3

），
∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．
由-

π

2

+kπ＜

1

2

x-

π

3

＜

π

2

+kπ，k∈Z，解得-

π

3

+2kπ＜x＜

5π

3

+2kπ，k∈Z，
故函數(shù)的增區(qū)間為（-

π

3

+2kπ，

5π

3

+2kπ），k∈Z．

點評：本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．