Question

已知函數f（x）=cos²x+asinx-a²+2a+5
（1）當a=1時，求函數f（x）的最大值；
（2）若函數f（x）有最大值2，試求實數a的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：（1）由a=1，化簡可得f（x）=-sin²x+sinx+7，從而解得f（x）≤

29

4

；
（2）y=-sin²x+asinx-a²+2a+6，令sinx=t，t∈[-1，1]，有y=-t²+at-a²+2a+6，對稱軸為t=

a

2

，討論即可求得a的值．

解答： 解：（1）∵a=1
∴f（x）=-sin²x+asinx-a²+2a+6=-sin²x+sinx+7
∴可解得：f（x）≤

29

4

（2）y=-sin²x+asinx-a²+2a+6，令sinx=t，t∈[-1，1]
y=-t²+at-a²+2a+6，對稱軸為t=

a

2

，
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，[-1，1]是函數y的遞減區間，y_max=y|_t=-1=-a²+a+5=2
得a²-a-3=0，a=

1± 13

2

，與a＜-2矛盾；
當

a

2

＞1，即a＞2時，[-1，1]是函數y的遞增區間，y_max=y|_t=1=-a²+3a+5=2
得a²-3a-3=0，a=

3± 21

2

，而a＞2，即a=

3+ 21

2

；
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，y_max=y|t=

a

2

=-

3

4

a²+2a+6=2
得3a²-8a-16=0，a=4，或-

4

3

，而-2≤a≤2，即a=-

4

3

；
∴a=-

4

3

，或

3+ 21

2

．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，一元二次函數的性質的應用，屬于基本知識的考查．