Question

設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*都有S_n+

1

2

an=

1

2

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用“a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等比數(shù)列的通項公式即可得出；求通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
（II）由于a_n=(

1

3

)n，可得log₃a_n=log3(

1

3

)n=-n．利用等差數(shù)列的前n項和公式可得

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n+

1

2

an=

1

2

，∴當n=1時，S1+

1

2

a1=

1

2

，∴a₁=

1

3

．
當n≥2時，Sn-1+

1

2

an-1=

1

2

，∴a_n+

1

2

an-

1

2

an-1=0，∴an=

1

3

an-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=(

1

3

)n．
（II）∵a_n=(

1

3

)n，∴l(xiāng)og₃a_n=log3(

1

3

)n=-n．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和=-2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=-2(1-

1

n+1

)
=

-2n

n+1

．

點評：本題考查了利用“a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式、“裂項求和”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．