Question

設函數f（x）=a^x-（k-1）a^-x，（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數，且f（1）=

3

2

．
（1）求k，a的值；
（2）求函數f（x）在[1，+∞）上的值域；
（3）設g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值；
（4）對于（3）中函數g（x），如果g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（0）=0，f（1）=

3

2

．得出a，k．
（2））根據f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞]單調遞增，求解即可．
（3）換元轉化為k（t）=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞），討論得出

m≥ 3 2 -m2+2=-2

或

m＜ 3 2 9 4 -3m+2=-2

即求解m=2，或m=

25

12

（舍去），
（4）根據不等式恒成立得出

m≥ 3 2 -m2+2＞0

或

m＜ 3 2 9 4 -3m+2＞0

，解不等式得出答案．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=a^x-（k-1）a^-x，（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=0，即1-（k-1）=0，k=2，
∵f（1）=

3

2

．∴a-

1

a

=

3

2

，a=2，
∴a=2，k=2，
（2）∵f（x）=2^x-2^-x在[1，+∞]單調遞增，
∴f（1）=

3

2

，
∴在[1，+∞）上的值域為[

3

2

，+∞），
（3）g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），
設t=2^x-2^-x，x∈[1，+∞），t∈[

3

2

，+∞），
∴k（t）=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞），
∵若g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，
∴k（t）=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞），上的最小值為-2，
∴

m≥ 3 2 -m2+2=-2

或

m＜ 3 2 9 4 -3m+2=-2

即m=2，或m=

25

12

（舍去），
故m=2
（4）k（t）=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞），
∵g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴k（t）＞0在t∈[

3

2

，+∞）上恒成立，
∴

m≥ 3 2 -m2+2＞0

或

m＜ 3 2 9 4 -3m+2＞0

，
解不等式得出∅或m＜

3

2

，
∴m的取值范圍為：m＜

3

2

．

點評：本題綜合考查了二次函數在解決單調性，最值，不等式恒成立問題中的應用，屬于中檔題．