Question

11．已知f（x）=$\frac{m}{x}$，g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，且對任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
（1）判斷g（x）在（2，+∞）上的單調性；
（2）設集合A={x|f（x）=2，x＞2}，證明：A=∅．

Answer 1

分析 （1）g（x）在（2，+∞）上為增函數，結合已知中對任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁可證明結論；
（2）由（1）可得x＞2時，g（x）＞g（2）恒成立，即m≤4，故x＞2時，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，進而證得A=∅．

解答 解：（1）g（x）在（2，+∞）上為增函數，理由如下：
∵對任意x₁＞x₂≥2，都有f（x₁）-f（x₂）＞x₂-x₁．
∴f（x₁）+x₁＞f（x₂）+x₂，
∴$\frac{m}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{m}{{x}_{2}}$+x₂，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}+m}{{x}_{1}}$＞$\frac{{{x}_{2}}^{2}+m}{{x}_{2}}$，
故對任意x₁＞x₂≥2，都有g（x₁）＞g（x₂），
故g（x）在（2，+∞）上為增函數；
證明：（2）由（1）得，x＞2時，g（x）＞g（2）恒成立，
∴$\frac{{x}^{2}+m}{x}$＞2+$\frac{m}{2}$在x＞2時恒成立，
即m＜2x在x＞2時恒成立，
∴m≤4，
∴x＞2時，f（x）=$\frac{m}{x}$＜$\frac{4}{2}$=2恒成立，
∴集合A={x|f（x）=2，x＞2}=∅．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，抽象函數及其應用，函數的單調性的判斷與證明，難度中檔．