Question

11．已知指數函數y=g（x）的圖象經過點（2，4），且定義域為R的函數f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函數．
（1）求f（x）的解析式，判斷f（x）在定義域R上的單調性，并給予證明；
（2）若關于x的方程f（x）=m在[-1，0）上有解，求f（$\frac{1}{m}$）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出指數函數的解析式，利用定義域為R的函數f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函數，求f（x）的解析式，利用導數的方法判斷并證明f（x）在定義域R上的單調性；
（2）若關于x的方程f（x）=m在[-1，0）上有解，求出m的范圍，即可求f（$\frac{1}{m}$）的取值范圍．

解答 解：（1）指數函數y=g（x）的圖象經過點（2，4），則g（x）=2^x，
f（x）=$\frac{b-g（x）}{a+g（x）}$是奇函數，f（0）=0，可得b=1，
由f（-1）=-f（1），可得a=1，∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
∵f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，∴f′（x）=$\frac{-2•{2}^{x}ln2}{（1+{2}^{x}）^{2}}$＜0，
∴f（x）在定義域R上單調遞減；
（2）方程f（x）=m在[-1，0）上有解，即$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1=0在[-1，0）上有解
因為f（x）在R上的減函數，所以當x∈[-1，0），0=f（0）＜m≤f（-1）=$\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{m}$≥3，
所以f（$\frac{1}{m}$）≤f（3）=-$\frac{7}{9}$
又由$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＞0，得$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1＞-1，得-1＜f（$\frac{1}{m}$）≤-$\frac{7}{9}$，
所以f（$\frac{1}{m}$）的取值范圍是（-1，-$\frac{7}{9}$]．

點評 本題考查計算解析式的確定，考查函數奇偶性的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．