Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，漸近線為l₁，l₂，P位于l₁在第一象限內(nèi)的部分，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分別求得雙曲線的漸近線方程，設(shè)P點坐標，根據(jù)直線的斜率公式，求得直線PF₁的斜率及直線PF₂的斜率，根據(jù)直線平行及垂直的關(guān)系，即可求得a和b的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線漸近線為l₁的方程y=$\frac{b}{a}$x，漸近線為l₂方程y=-$\frac{b}{a}$x，
則設(shè)P點坐標（x，$\frac{b}{a}$x），
則直線PF₁的斜率k=$\frac{\frac{b}{a}x-0}{x+c}$=$\frac{bx}{a（x+c）}$，
直線PF₂的斜率k=$\frac{\frac{b}{a}x}{x-c}$=$\frac{bx}{a（x-c）}$，
由l₂⊥PF₁，則$\frac{bx}{a（x+c）}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，$\frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}（x+c）}$=1，①
l₂∥PF₂，則$\frac{bx}{a（x-c）}$=-$\frac{b}{a}$，解得：x=$\frac{c}{2}$，②
由①②整理得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴雙曲線的離心率2，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．