Question

若函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x+a在定義域內有三個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．(-

  13

  6

  ，-

  2

  3

  )
• B．[-

  13

  6

  ，-

  2

  3

  ]
• C．(-

  10

  3

  ，

  7

  6

  )
• D．[-

  10

  3

  ，

  7

  6

  ]

Answer 1

分析：已知條件轉化為函數有兩個極值點，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：由函數f（x）=

1

3

x3+

1

2

x2-2x+a 有三個不同的零點，
則函數f（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0．
由f′（x）=x²+x-2=（x-1）•（x+2）=0，解得x₁=-2，x₂=1．
所以當 x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，x∈（-2，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函數的極大值為f（-2）=

10

3

+a，極小值為 f（1）=-

7

6

+a．
因為函數f（x）=x³-3x+a有三個不同的零點，
∴

10 3 +a ＞0 -7 6 +a＜0

，解得-

10

3

＜a＜

7

6

，
故選C．

點評：本題是中檔題，考查函數的導數與函數的極值的關系，考查轉化思想，計算能力．