Question

已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．設P₄的坐標為（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：本題可以畫出圖形，由∠P₁PB=θ，利用對稱性得到角的關系∠P₁P₂C=∠P₃P₂D=∠AP₄P₃=θ，然后利用三角函數來解答，可以設P₁B=x，得到這些角的三角函數值關于x的關系式，再由P₄的坐標為（x₄，0）以及1＜x₄＜2，可解得tanθ的取值范圍．
解答：解：設P₁B=x，
∠P₁PB=θ，則CP₁=1-x，
∠P₁P₂C、∠P₃P₂D、∠AP₄P₃均為θ，∴tanθ==x．
又tanθ===x，
∴CP₂==-1．
而tanθ====x，
∴DP₃=x（3-）=3x-1．
又tanθ====x，
∴AP₄==-3．
依題設1＜AP₄＜2，即1＜-3＜2，
∴4＜＜5，＞＞．
∴＞tanθ＞．
點評：本題考查三角函數的概念以及利用三角函數解答相關問題的能力，軸對稱圖形的應用，對解不等式及不等式思想的考查等內容．