【題目】已知函數
.
(1)若
，求函數
在
處的切線方程；
(2)令
，討論函數
的單調性；
(3)當
時,
，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）詳見解析；（3）
【解析】
（1）利用公式
，直接求切線方程；
（2）
，首先求函數的導數，
，分類討論函數的單調性；
（3）由（2）可知函數的單調性，結合
，分，
，
，三種情況討論函數的單調性，判斷是否能使
時，
恒成立.
（1）當
時，
，
，
，
，
函數
在
處的切線方程是；
（2），
，
當
時，
恒成立，函數的單調遞減區間是
，無單調遞增區間；
當
時，
，
（ⅰ）
時，即時，
的解集是
，
的解集是
，
所以函數的單調遞增區間是，函數的單調遞減區間是
；
（ⅱ）當
時，即
時，函數
恒成立，即函數的單調遞減區間是，無單調遞增區間；
綜上可知，當
時，函數的單調遞減區間是，無單調遞增區間；當時，函數的單調遞增區間是，函數的單調遞減區間是.
（3）時，
成立，
由（2）可知當時，
單調遞減，當時，取得最大值，，
（ⅰ）當時，
，
恒成立，
單調遞減， ，
當時，恒成立，
；
（ⅱ）當時，
，單調遞減，存在
，使
，即
，
，
單調遞增，當
時，
，函數單調遞減，
，
使不恒成立，故不成立；
（ⅲ）當時，，由（2）可知
的單調性，在
必存在區間
，使函數，即存在，使單調遞增，
，使不恒成立，故不成立；
綜上可知：.
全優點練單元計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為3的疋方形，側面
與底面垂直，過點
作
的垂線，垂足為
，且滿足
，點
在棱
上，
（1）當
時，求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）當
取何值時，二面角
的正弦值為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
上的兩個點，點
的坐標為
，直線
的斜率為
.設拋物線
的焦點在直線的下方.
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且
，過
兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為
. 判斷四邊形
是否為梯形，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的偶函數
滿足
，且
，當
時，
.已知方程
在區間
上所有的實數根之和為
.將函數
的圖象向右平移
個單位長度，得到函數
的圖象，則
__________，
__________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，已知四邊形
是邊長為
的正方形，點
在底面上的射影為底面的中心點
，點
在棱
上，且
的面積為1．
（1）若點是的中點，求證：平面
平面
；
（2）在棱上是否存在一點使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x﹣y+b＝0，求實數a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的單調減區間；
（3）對一切實數a∈（0，1），求f（x）的極小值的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學舉行了一次“環保知識競賽”， 全校學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本進行統計．請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：
| 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 | [50，60） | 8 | 0 16 |
第2組 | [60，70） | a | ▓ |
第3組 | [70，80） | 20 | 0 40 |
第4組 | [80，90） | ▓ | 0 08 |
第5組 | [90，100] | 2 | b |
合計 | ▓ | ▓ |
（1）求出
的值；
（2）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學到廣場參加環保知識的志愿宣傳活動
（ⅰ）求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同學來自同一組的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個三位數：個位、十位、百位上的數字依次為
，
，
，當且僅當
，
時，稱這樣的數為“凸數”（如243），現從集合
中取出三個不同的數組成一個三位數，則這個三位數是“凸數”的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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