Question

1．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，上頂點為B，下頂點為C，若直線AB與直線CF的交點為（3a，16），則橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 由題意可得：直線AB，CF的方程分別為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}$=1，$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，把（3a，16）代入上述方程可得：$\frac{3a}{-a}+\frac{16}$=1，$\frac{3a}{c}+\frac{16}{-b}$=1，又a²=b²+c²，聯立解得即可得出．

解答 解：由題意可得：直線AB，CF的方程分別為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}$=1，$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，
把（3a，16）代入上述方程可得：$\frac{3a}{-a}+\frac{16}$=1，$\frac{3a}{c}+\frac{16}{-b}$=1，又a²=b²+c²，
聯立解得a=5，b=4，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．