Question

4．設正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列b_n=log₂a_n，求{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設正項等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，根據已知條件和等比數列的通項公式求得q的值，則a_n=a₄q^n-4；
（Ⅱ）由b_n=|log₂a_n|，a_n=2^n-7，知b_n=|log₂2^n-7|=|n-7|，由此能求出數列{b_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ） 設正項等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0．
由已知S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即$2{a_1}{q^2}+{a_1}q-{a_1}=0$，
∴2q²+q-1=0故$q=\frac{1}{2}$或q=-1（舍）
∴${a_n}={a_4}×{q^{n-4}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-7}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=7-n故當n≤7時，b_n≥0
∴當n≤7時，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{{n（{{b_1}+{b_n}}）}}{2}=-\frac{n^2}{2}+\frac{13n}{2}$
當n＞7時，T_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n）
=2（b₁+b₂+…+b₇）-（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{13n}{2}$+42，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{13n}{2}（0＜n≤7）}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{13n}{2}+42（n＞7）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．