Question

18．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F（c，0）作x軸的垂線，與橢圓C在第一象限內交于點A，過A作直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的垂線，垂足為B，|AF|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，|AB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為圓E：x²+y²=4上任意一點，過點P作橢圓C的兩條切線l₁、l₂，設l₁、l₂分別交圓E于點M、N，證明：MN為圓E的直徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：$\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{a^2}{c}-c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P 的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程，由△=0，求得$（1-\frac{1}{3}{x_0}^2）{k^2}+\frac{2}{3}{x_0}{y_0}k+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{y_0}^2=0$，則由韋達定理可知：${k_1}{k_2}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{3-{x_0}^2}}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{{y_0}^2-1}}=-1$，即l₁⊥l₂，∠MPN=90°，當l₁ 或l₂ 的斜率不存在時，必是${x_0}^2=3$ 或${y_0}^2=1$，$P（±\sqrt{3}，±1）$，此時一條切線與x 軸垂直，一條切線與x 軸平行，仍有l₁⊥l₂ 即∠MPN=90°．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：$\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{a^2}{c}-c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…2分
∴$a=\sqrt{3}，b=1，c=\sqrt{2}$，
$\therefore$ 橢圓C 的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；…4分
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），當切線l₁，l₂ 的斜率均存在時，分別設為k₁，k₂，
設過點P 的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
與C的方程聯立得$（\frac{1}{3}+{k^2}）{x^2}+2（{y_0}-k{x_0}）kx+{（{y_0}-k{x_0}）^2}-1=0$，
則$△=4{k^2}{（{y_0}-k{x_0}）^2}-4（{k^2}+\frac{1}{3}）[{（{y_0}-k{x_0}）^2}-1]=0$，…6分
即${k^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{（{y_0}-k{x_0}）^2}=0$，整理得$（1-\frac{1}{3}{x_0}^2）{k^2}+\frac{2}{3}{x_0}{y_0}k+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{y_0}^2=0$，…8分
$\therefore$ ${k_1}{k_2}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{3-{x_0}^2}}=\frac{{1-{y_0}^2}}{{{y_0}^2-1}}=-1$，即l₁⊥l₂，∠MPN=90°；…10分
當l₁ 或l₂ 的斜率不存在時，必是${x_0}^2=3$ 或${y_0}^2=1$，
又${x_0}^2+{y_0}^2=4$，
∴$P（±\sqrt{3}，±1）$，此時一條切線與x 軸垂直，一條切線與x 軸平行，仍有l₁⊥l₂ 即∠MPN=90°；…12分
綜上，對任意點P，MN 為圓E 的直徑．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．