Question

已知函數，
（1）當且時，證明：對，；
（2）若，且存在單調遞減區間，求的取值范圍；
（3）數列，若存在常數，，都有，則稱數列有上界。已知，試判斷數列是否有上界．

Answer 1

（1），，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取最大值，即，，即
（2）（3）數列無上界

試題分析：⑴當且時，設，，……1分，解得。
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取最大值，即，，即
（2）若，=
所以
因為函數存在單調遞減區間，所以在上有解
所以在上有解
所以在上有解，即使得
令，則，研究，當時，
所以
（3）數列無上界
，設，，由⑴得，，所以，，取為任意一個不小于的自然數，則，數列無上界。
點評：不等式恒成立問題常轉化為求函數最值問題，第二問將函數存在減區間首先轉化為導數小于零有解，進而轉化為求函數最值，通過本題要加強不等式與函數的互相轉化的思維思路的培養與訓練