Question

6．已知a、b∈R，且2ab+2a²+2b²-9=0，若M為a²+b²的最小值，則約束條件$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤3M}\\{|x|+|y|≤\sqrt{2}M}\end{array}\right.$所確定的平面區域內整點（橫坐標縱坐標均為整數的點）的個數為（　　）

• A． 29
• B． 25
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 根據基本不等式的性質求出M的值，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由2ab+2a²+2b²-9=0結合2ab≤a²+b²得3（a²+b²）≥9⇒a²+b²≥3（當且僅當a=b時等號成立）
故M=3，故約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}≤9}\\{|x|+|y|≤3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
確定的平面區域如右圖陰影所示，在區域內，
在直線x=-3上有1個，
在x=-2上有5個，
在x=-1上有5個，
在x=0上有7個，
在直線x=1上有5個，
在x=2上有5個，
在x=3上有1個，
共29個．
故選：A．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用基本不等式的性質求出M的值是解決本題的關鍵．綜合性較強．