Question

19．已知數列{a_n}滿足：a₁=-$\frac{2}{3}，{a_{n+1}}=\frac{{-2{a_n}-3}}{{3{a_n}+4}}（n∈$N^*）．
（1）證明：數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}+1}）（n∈$N^*），若對一切n∈N^*，都有（1-b₁）（1-b₂）…（1-b_n）≤$\frac{λ}{{\sqrt{2n+1}}}$成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用數列的遞推關系式推出數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是首項為3，公差為 3的等差數列，然后求解通項公式．
（2）化簡數列的通項公式，利用數列的單調性，化簡求解即可．

解答 解：（1）因為${a_{n+1}}+1=\frac{{-2{a_n}-3}}{{3{a_n}+4}}+1=\frac{{{a_n}+1}}{{3{a_n}+4}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}+1}}=\frac{{3{a_n}+4}}{{{a_n}+1}}=3+\frac{1}{{{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}+1}}-\frac{1}{{{a_n}+1}}=3$，
所以$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是首項為3，公差為 3的等差數列，
所以$\frac{1}{{{a_n}+1}}=3n$，∴${a_n}=\frac{1}{3n}-1$．
（2）由數列{b_n}滿足：b_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}+1}）（n∈$N^*），可得${b_n}=\frac{1}{2n}$，
設$f（n）=\sqrt{2n+1}\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}（n≥1，n∈$N^*），
由$\frac{{f（{n+1}）}}{f（n）}=\sqrt{\frac{{4{n^2}+8n+3}}{{4{n^2}+8n+4}}}＜1$得$λ≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即λ的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列與不等式的綜合應用，考查計算能力．