Question

【題目】如圖，矩形平面，，，且，分別為，的中點．

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取DE中點F，分別連結AF,FN，證明，再利用線面平行的判定定理證明線面平行；

（2）以B為原點建立空間直角坐標系，得則，，，，求出為平面ABCD的一個法向量，為平面AED的法向量，從而求得二面角的大小．

（1）證明：取DE中點F，分別連結AF,FN

又N為BC中點，

所以,

因為矩形ABCD中，M為AB的中點，

所以

所以，

所以四邊形AMNF為平行四邊形，

所以，

又因為平面,平面，

所以平面．

（2）因為矩形平面，

矩形平面，

所以平面．

如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，

則，，，，

因為軸平面ABCD，

所以為平面ABCD的一個法向量，

設為平面AED的法向量，

因為，，

所以，得，

故可取，

則，

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為．