Question

【題目】設(shè)（、為實(shí)常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：不是奇函數(shù)；

（2）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值；

（3）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，研究是否存在這樣的實(shí)數(shù)集的子集，對(duì)任何屬于的、，都有成立？若存在試找出所有這樣的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或；（3）存在，.

【解析】

（1）舉出反例即可，只要檢驗(yàn)，可說(shuō)明不是奇函數(shù)；

（2）由題意可得，即對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)成立.整理可求、；

（3）當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求，可求當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍，即可求解.

（1）舉出反例即可：，，，

所以，函數(shù)不是奇函數(shù)；

（2）是奇函數(shù)時(shí)，，

即對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)成立.

化簡(jiǎn)整理得，這是關(guān)于的恒等式，

所以所以或，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意；

（2）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，，從而；

而對(duì)任何實(shí)數(shù)成立；

所以可取對(duì)任何、屬于，都有成立.

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

①因此取，對(duì)任何、屬于，都有成立；

②當(dāng)時(shí)，，解不等式得：.

所以取，對(duì)任何屬于的、，都有成立.