Question

已知圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動圓M分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內切．求動圓圓心M所在的曲線的方程．

Answer 1

分析：由于圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動圓M分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內切．故可知動點M到兩個定點O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4，從而軌跡是橢圓，故可求方程；

解答：解：設M（x，y），動圓M的半徑為r（r＞0），
則由題意知|MO₁|=1+r，|MO₂|=3-r，
于是|MO₁|+|MO₂|=4，即動點M到兩個定點O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4．…（3分）
又因為  4=|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|=2，
所以點M在以兩定點O₁（-1，0）、O₂（1，0）為焦點，4為長軸長的橢圓上．設此橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)，這里a=2，c=1，…（6分）
則  b²=a²-c²=3．
因此  動圓圓心M所在的曲線方程為   

x2

4

+

y2

3

=1．…（8分）
注：1．若限制x≠-2，也可以；
2、若設M（x，y），由|MO₁|+|MO₂|=4得  

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4，整理并化簡得

x2

4

+

y2

3

=1，也可以．

點評：本題以圓與圓的位置關系為依托，考查軌跡方程，軌跡是利用圓與圓的位置關系，得出軌跡是橢圓，從而得解．