Question

5．已知函數f（x）=x-ae^x（a∈R，e為自然對數的底數）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）分離參數a，問題轉化為證明證明$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{e^{x_1}}+{e^{x_2}}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}＞2$，不妨設x₁＞x₂，記t=x₁-x₂，則t＞0，e^t＞1，因此只要證明：$t•\frac{{{e^t}+1}}{{{e^t}-1}}＞2$，即（t-2）e^t+t+2＞0，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=1-a•e^x，…（1分）
當a≤0時，f'（x）＞0，函數f（x）是（-∞，+∞）上的單調遞增函數；…（3分）
當a＞0時，由f'（x）＞0得x＜-lna，由f'（x）＜0得x＞-lna，
所以函數f（x）是（-∞，-lna）上的單調遞增函數，
函數f（x）是（-lna，+∞）上的單調遞減函數…（5分）
（2）函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，所以${x_1}=a{e^{x_1}}$，${x_2}=a{e^{x_2}}$，
因此${x_1}-{x_2}=a（{e^{x_1}}-{e^{x_2}}）$，即$a=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}$，…（7分）
要證明x₁+x₂＞2，只要證明$a（{e^{x_1}}+{e^{x_2}}）＞2$，
即證：$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{e^{x_1}}+{e^{x_2}}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}＞2$…（9分）
不妨設x₁＞x₂，記t=x₁-x₂，
則t＞0，e^t＞1，因此只要證明：$t•\frac{{{e^t}+1}}{{{e^t}-1}}＞2$，
即（t-2）e^t+t+2＞0，…（10分）
記h（t）=（t-2）e^t+t+2（t＞0），
則h'（t）=（t-1）e^t+1，
記m（t）=（t-1）e^t，則m'（t）=te^t，
當t＞0時，m'（t）＞0，所以m（t）＞m（0）=-1，
即t＞0時（t-1）e^t＞-1，h'（t）＞0，
所以h（t）＞h（0）=0，即（t-2）e^t+t+2＞0成立，
所以x₁+x₂＞2…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道中檔題．