Question

【題目】已知數列與滿足.

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若且數列為公比不為1的等比數列，求q的值，使數列也是等比數列；

（3）若且，數列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）代入已知條件，即可得到數列為等差數列，可求通項公式。

（2）利用迭代，用含的式子表示，根據為等比數列，求出的值。

（3）利用累加法可證單調遞增且單調遞減即可得到數列的最大項與最小項，即結合即可求出的取值范圍。

解：（1）由且得，所以數列為等差數列.

又，所以：

（2）由條件可知，

所以

不妨設的公比為，則，

由是等比數列知：可求出

經檢驗，，此時是等比數列，所以滿足條件：

（3）由條件可知，

所以

即，

，因為，

所以，則單調遞增

，則單調遞減；

又，所以數列的最大項為，

所以數列的最小項為.

則，

因為，所以，所以.