Question

【題目】如圖，設橢圓兩頂點，短軸長為4，焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點．設直線與直線交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求線段中點的軌跡方程；

（3）求證：點的橫坐標為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）根據題意可得，由此求得橢圓方程。

（2）設，利用點差法求出線段中點的軌跡方程。

（3）設直線的方程為： ，直線的方程為： ，聯立求得，由此證明點的橫坐標為定值。

（1）橢圓兩頂點，短軸長為，焦距為，

，解得

橢圓方程為：.

（2）設，

則 ①， ②，

則①②得，

，

即 .

線段中點的軌跡方程為：.

（3）證明：設直線的方程為： ，

直線的方程為： ，

兩式聯立可得：

由①②得

即 ③，

又三點共線，則④，

②代入③得

把③④代入⑤整理得.