Question

【題目】已知拋物線，在x軸正半軸上任意選定一點，過點M作與x軸垂直的直線交C于P，O兩點.

（1）設，證明：拋物線在點P，Q處的切線方程的交點N與點M關于原點O對稱；

（2）通過解答（1），猜想求過拋物線上一點（不為原點）的切線方程的一種做法，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數的導函數，再求拋物線在點P、Q處的切線方程，然后求兩直線的交點坐標即可得證；

（2）先由（1）猜想切線方程為直線，再利用導數求曲線在某點處的切線方程即可得證.

（1）當時，點，

由得，

故或，

所以在點P處的切線方程為，

即，

在點Q處的切線方程為，

即，

由得交點，

所以交點N與M關于原點O對稱.

（2）過點作與x軸垂直的直線交x軸于點，

作點M關于原點對稱的點，

猜想切線方程為直線，

即，其中,

由得，

或,

所以在點處的切線斜率為或,

故點處的切線方程為:

或,

由得或,

所以在點處切線方程為,

整理得，

即.