Question

【題目】已知圓與拋物線有一條斜率為1的公共切線.

（1）求.

（2）設與拋物線切于點，作點關于軸的對稱點，在區域內過作兩條關于直線對稱的拋物線的弦，.連接.

①求證：；

②設面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）①證明見解析，②

【解析】

（1）設切線為，其與圓相切，列方程可得可得的值，又與拋物線相切，與拋物線聯立，，結合，可求出的值；

（2）①由（1）可得切點為，故，設直線方程為，點，代入點的坐標可得利用與關于對稱得到，聯立與拋物線方程，結合韋達定理，可得，即可證明；②求出以及到的距離，表示出，利用導數求其最值即可．

（1）設切線為.

∵直線與圓相切

∴，

解得或，

聯立，

得，

由，得.

結合可知：，；

（2）①由上述方程知直線與拋物線的切點為，故，

設直線方程為，點

∴①

∵與關于對稱

∴

即：②

聯立與拋物線方程，

，化簡整理得：

∴，，，

代入②式整理得，

∴ ；

②由①知，方程為，

結合條件及可知，

又

到的距離

∴.

考慮其中，

，

當時，，

此時的最大值為：