Question

【題目】設函數.

（1）試討論函數的單調性；

（2）設，記，當時，若方程有兩個不相等的實根， ，證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解函數的導函數，分類討論可得：

①若時，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；

②若時，函數單調遞增；

③若時，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增.

(2)構造新函數 ，結合新函數的性質即可證得題中的不等式.

試題解析：

（1）由，可知 .

因為函數的定義域為，所以，

①若時，當時， ，函數單調遞減，當時， ，函數單調遞增；

②若時，當在內恒成立，函數單調遞增；

③若時，當時， ，函數單調遞減，當時， ，函數單調遞增.

（2）證明：由題可知 ，

所以 .

所以當時， ；當時， ；當時， .

欲證，只需證，又，即單調遞增，故只需證明.

設， 是方程的兩個不相等的實根，不妨設為，

則

兩式相減并整理得 ，

從而，

故只需證明，

即.

因為，

所以（*）式可化為，

即.

因為，所以，

不妨令，所以得到， .

記， ，所以，當且僅當時，等號成立，因此在單調遞增.

又，

因此， ，

故， 得證，

從而得證.