Question

3．已知函數$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且三邊長a，b，c成等差數列，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）根據a，b，c成等差數列，可得2b=a+c，利用余弦定理求出B的范圍，即得到f（B）的取值范圍．

解答 解：函數$f（x）=4cos（{x-\frac{π}{2}}）sin（{x-\frac{π}{3}}）-1$．
化簡可得：$f（x）=4sinx（{\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-1=2{sin^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx-1$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2x+\frac{π}{6}∈[{2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}}]$
得$x∈[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$，
∴f（x）的單調遞增區間為$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$；
 （2）∵a，b，c成等差數列，可得2b=a+c
由余弦定理：$cosB=\frac{{4{a^2}+4{c^2}-{{（{a+c}）}^2}}}{8ac}=\frac{{3{a^2}+3{c^2}-2ac}}{8ac}≥\frac{6ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$，
（當且僅當a=c時，取等號）
∵0＜B＜π，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$．
∵$f（x）=-2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
故f（B）=$-2sin（{2B+\frac{π}{6}}）$．
∵$2B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
故得：$sin（{2B+\frac{π}{6}}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
從而f（B）的取值范圍是[-2，-1]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用余弦定理和基本不等式的結合，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．