Question

設函數f(x)=

1

2

x2+(1-a)x+(a-1)lnx．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在區間[2，3]上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定確定坐標，與切線的斜率，即可求得切線方程；
（2）求導數f′(x)=

x2+(1-a)x+a-1

x

，記g（x）=x²+（1-a）x+a-1，利用函數f（x）在區間[2，3]上單調遞減，可得x²+（1-a）x+a-1≤0在區間[2，3]上恒成立，從而可建立不等式組，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）a=0時，f′(x)=

x2+x-1

x

，∴f′（1）=1
∴f（1）=

3

2

，∴曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y-

3

2

=x-1，即x-y+

1

2

=0
（2）f′(x)=

x2+(1-a)x+a-1

x

，記g（x）=x²+（1-a）x+a-1
∵函數f（x）在區間[2，3]上單調遞減
∴x²+（1-a）x+a-1≤0在區間[2，3]上恒成立
∴

g(2)≤0 g(3)≤0

，∴

4+2(1-a)+a-1≤0 9+3(1-a)+a-1≤0

∴a≥

11

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．