Question

已知數據x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均數為6，標準差為

2

，則數據x₁，x₂，…，x₅的平均數的取值范圍是

6-

2

≤a≤6+

2

．

Answer 1

分析：法一：設x₁，x₂，…，x₅的平均數為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數為b，則b=12-a，利用條件：“數據x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均數為6，標準差為

2

，”得出關于a的不等關系，最后解一個二次不等式即可；
法二：（運用柯西不等式）設x₁，x₂，…，x₅的平均數為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數為b，則b=12-a，利用柯西不等式得出：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，解之即可．

解答：解：由（x₁-6）²+（x₂-6）²+…+（x₁₀-6）²=20，
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²-12（x₁+x₂+…+x₁₀）+360=20
即 x₁²+x₂²+…+x₁₀²=380
設x₁，x₂，…，x₅的平均數為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數為b，則b=12-a
結合方差定義   （x₁-a）²+（x₂-a）²+…+（x₅-a）²≥0
展開得：x₁²+x₂²+…+x₅²-2a（x₁+x₂+…+x₅）+5a²≥0
即  x₁²+x₂²+…+x₅²-2a•5a+5a²≥0，x₁²+x₂²+…+x₅²≥5a²，
同理x₆²+x₇²+…+x₁₀²≥5b²=5（12-a）²
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即  380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得6-

2

≤a≤6+

2

另解：（運用柯西不等式）
設x₁，x₂，…，x₅的平均數為a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均數為b，則b=12-a
由 

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 5

≥

(x1+x2+…+x5)2

5

=5a2，

x

2 6

+

x

2 7

+…+

x

2 10

≥

(x6+x7+…+x10)2

5

=5b2=5(12-a)2
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即  380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得6-

2

≤a≤6+

2

點評：本小題主要考查極差、方差與標準差、柯西不等式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．