Question

已知數據x₁，x₂，…，x_n，的和S_n滿足S_n=n²+n，則x₁，x₂，…，x_n，的方差=

1

3

（n+1）（13n+5）

．

Answer 1

分析：根據數列{x_n}的前n項和S_n，表示出數列{x_n}的前n-1項和S_n-1，兩式相減即可求出此數列的通項公式，然后把n=1代入也滿足，故此數列為等差數列，求出的x_n即為通項公式，從而得出x_n²=4n²．再利用方差的變形公式計算即得．

解答：解：當n≥2時，有a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n；，
而x₁=S₁=2適合上式，
所以：x_n=2n．
故x_n²=4n²．
∴

x

1 2

 +

x

2 2

+…+

x

n 2

=16（1²+2²+3²+…+n²）=16×

1

6

n（n+1）（2n+1），
且

.

x

=

S   n

n

=n+1，
根據方差的變形公式得：
S=

1

n

[( 

x

2 1

 +

x

2 2

+…+

x

2 n

)-n

. x

2

]
=

1

n

[

8

3

n(n+1)(2n+1)-n (n+1) 2]
=

1

3

（n+1）（13n+5）．
故答案為：

1

3

（n+1）（13n+5）．

點評：本題考查極差、方差與標準差數列通項公式的求法．解題時要注意遞推公式 an=

S1         n=1 Sn-Sn-1  n≥2

的靈活運用．