【題目】已知拋物線
的頂點在坐標原點
，對稱軸為
軸，焦點為
，拋物線上一點
的橫坐標為2，且
.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點
作直線
交拋物線于
，兩點，求證：
.
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）結合向量數量積的坐標運算，由
求得
的值，由此求得拋物線方程.
（2）法一：設直線
方程為
，聯立直線的方程和拋物線
的方程，寫出韋達定理，計算
，由此證得
.
法二：將直線的斜率分為存在和不存在兩種情況進行分類討論，通過計算，證得.
（1）由題設拋物線的方程為：
，
則點
的坐標為
，點
的一個坐標為
，
∵，∴
，
∴
，∴
，∴.
（2）設
、兩點坐標分別為
、
，
法一：因為直線當的斜率不為0，設直線當的方程為
方程組
，得
，
，
因為
，
所以
，
所以.
法二：①當的斜率不存在時，的方程為
，此時
，
，
即
，
有
，所以.
②當的斜率存在時，設的方程為
.
方程組
，得
，
所以
，
因為，
所以
所以.
由①②得.
小博士期末闖關100分系列答案
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，
兩點為噴泉，圓心
為
的中點，其中
米，半徑
米，市民可位于水池邊緣任意一點
處觀賞．
（1）若當
時，
，求此時
的值；
（2）設
，且
．
（i）試將
表示為的函數，并求出的取值范圍；
（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度
的最大值不小于
，試求兩處噴泉間距離的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
①樣本數據落在區間
的頻率為0.45；
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
③樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點P
到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F.
(1)求拋物線的方程；
(2)若A為拋物線上一點(異于原點O)，點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E，試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有一張半徑為
的圓形鐵皮，從中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖
陰影部分），并卷成一個深度為
的圓錐筒，如圖
.
（1）若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為
，求圓錐筒的容積；
（2）當
為多少時，圓錐筒的容積最大？并求出容積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設有關于
的一元二次方程
．
（Ⅰ）若
是從
四個數中任取的一個數，
是從
三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
（Ⅱ）若是從區間
任取的一個數，是從區間
任取的一個數，求上述方程有實根的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班主任對全班50名學生學習積極性和對待工作的態度進行了調查，統計數據如下所示：
積極參加班級工作 | 不太主動參加班級工作 | 合計 | |
學習積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學習積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
（1）如果隨機抽查這個班的一名學生，那么抽到積極參加班級工作的學生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學習積極性一般的學生的概率是多少？
（2）試運用獨立性檢驗的思想方法有多大把握認為學生的學習積極性與對班級工作的態度有關系？并說明理由.
本題參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為
，乙每次擊中目標的概率為
。
（1）記甲擊中目標的次數為
，求的概率分布及數學期望；
（2）求乙至多擊目標2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率。
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