Question

【題目】現(xiàn)有一張半徑為的圓形鐵皮，從中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖陰影部分），并卷成一個深度為的圓錐筒，如圖.

（1）若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，求圓錐筒的容積；

（2）當為多少時，圓錐筒的容積最大？并求出容積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，圓錐筒的容積的最大值為.

【解析】

（1）計算出扇形的弧長，利用扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長可求出圓錐底面圓的半徑，利用勾股定理計算出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可計算出圓錐的容積；

（2）利用勾股定理得出圓錐的底面半徑為，可得出，利用圓錐的體積公式計算出圓錐的容積關于的函數(shù)，再利用導數(shù)可求出的最大值，并求出對應的的值.

設圓錐筒的半徑為，容積為.

（1）由，得，從而，

所以.

答：圓錐筒的容積為；

（2）因為，.

所以，即，.

因為，令得，（舍負值），列表如下：

		極大值

所以，當時，取極大值即最大值，且的最大值為.

答：當時，圓錐筒的容積的最大值為.