Question

設直線y=ax+b與雙曲線3x²-y²=1交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點P（a，b）的軌跡方程．

Answer 1

分析：將直線方程與雙曲線方程消去y，可得（a²-3）x²+2abx+b²+1=0，利用根的判別式算出a²＜3．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系可得x₁+x₂=

2ab

3-a2

，x₁•x₂=

b2+1

a2-3

．根據直徑所對的圓周角為直角，結合題意得到

OA

⊥

OB

，所以x₁x₂+y₁y₂=0，代入前面的等式化為關于a、b的等式，化簡得到a²-2b²=-1．由此即可得到點P（a，b）滿足的軌跡方程．

解答：解：由

y=ax+b 3x2-y2=1

，
消去y得：（a²-3）x²+2abx+b²+1=0．
∵直線與雙曲線交于A、B兩點，
∴

a2-3≠0 △＞0

，解得a²＜3．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=

2ab

3-a2

，x₁•x₂=

b2+1

a2-3

．
∴y₁•y₂=（ax₁+b）（ax₂+b）=a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²，
又∵以AB為直徑的圓過原點，
∴

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，
由此可得x₁x₂+[a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²]=0，
即（1+a²）x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²=0，
可得：（1+a²）•

b2+1

a2-3

-ab•

2ab

3-a2

+b²=0，化簡得：a²-2b²=-1．
因此，點P（a，b）的軌跡方程為x²-2y²=-1，即2y²-x²=1（x²＜3）．

點評：本題已知直線與雙曲線相交得到弦AB，以AB為直徑的圓過原點，求點P（a，b）滿足的軌跡方程．著重考查了圓的性質、雙曲線的標準方程與簡單性質、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，屬于中檔題．