Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx+a（x2﹣1）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當a，x∈[1，+∞）時，證明：f（x）≤（x﹣1）ex．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（2）見解析

【解析】

（1）對f(x)求導(dǎo)，分a≥0, a＜0討論，分析導(dǎo)函數(shù)正負，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，對g(x)求導(dǎo)，得到，通過二次求導(dǎo)分析正負，進而得到g(x)的單調(diào)性，及g(x)的最小值，故得解.

（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），，

當a≥0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當a＜0時，由f′（x）＞0解得，由f′（x）＜0解得，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（2）證明：令，則，g′（1）＝e﹣（e﹣1）﹣1＝0，

再令，則，

當x≥1時，，

∴，即m′（x）＞0，

∴y＝m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∵m（1）＝g′（1）＝0，

∴m（x）≥m（1）＝0，

∴y＝g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）≥g（1）＝0，

綜上可知，f（x）≤（x﹣1）ex．