Question

【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）求證：當時，；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

(1)構造,再求導可得,再對導數求導,繼而分析導函數的正負區間進而求得原函數的單調區間求最小值證明即可.

(2) 求導可得,再分,,分析函數的最小值,同時根據零點存在性定理判斷是否有兩個零點即可.

（1）設…

∴,

∴

∵∴∴

∴在上單調遞增,

又

∴時,

∴在上單調遞增,

又

∴時,

故當時,；

（2）∵

∴,

①當時,易知函數只有一個零點,不符合題意；

②當時,在上,,單調遞減；在上,,單調遞增；又,且,且當上,恒成立，

又不妨取且時,

或者考慮：當

所以函數在和在上各有一個零點，即有兩個零點.

③當時,由得或

（i）當即時,在上,成立,故在上單調遞增,所以函數至多有一個零點,不符合題意

（ii）當即時,在和上,,單調遞增；

在上,單調遞減；

又,且,

所以函數至多有一個零點,不符合題意

（iii）當即時,在和上,單調遞增；在上,單調遞減；又,所以函數至多有一個零點,不符合題意

綜上所述：實數的取值范圍是