Question

已知函數f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
（1）求f（

π

6

）的值
（2）求函數的單調增區間
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數的值域．

Answer 1

考點：三角函數的最值,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：運用二倍角的正弦和余弦公式、兩角和的正弦公式化簡f（x），再由特殊角的三角函數值即可得到（1）；再由正弦函數的單調增區間，解不等式即可得到（2）；再由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，結合正弦函數的圖象和性質，即可得到所求值域．

解答： 解：函數f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）．
（1）f（

π

6

）=2sin（

2π

6

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則函數的單調增區間為（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

），k∈Z；
（3）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，
得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
即有sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則函數f（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查二倍角的正弦和余弦公式及兩角和的正弦公式的運用，考查正弦函數的單調區間和值域的運用，考查運算能力，屬于基礎題．