Question

9．在Rt△ABC中，直角邊AC，BC長(zhǎng)分別為3，6，點(diǎn)E，F(xiàn)是AB的三等分點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，AD交CE，CF分別于點(diǎn)G，H，則$\overrightarrow{CG}$•$\overrightarrow{CH}$=（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可分別以CB，CA為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后可求出C，A，B，E，F(xiàn)，D這幾點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可分別求出直線AD，CE，CF的方程，聯(lián)立方程即可分別求出點(diǎn)G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{CH}$的坐標(biāo)，從而求出該數(shù)量積的值．

解答 解：如圖，分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
C（0，0），A（0，3），B（6，0），E（2，2），F(xiàn)（4，1），D（3，0）；
∴${k}_{AD}=-1，{k}_{CE}=1，{k}_{CF}=\frac{1}{4}$；
∴直線AD的方程為y-3=-x，即y=3-x；
直線CE：y=x，直線CF：y=$\frac{1}{4}x$；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3-x}\\{y=x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3-x}\\{y=\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，$H（\frac{12}{5}，\frac{3}{5}）$；
∴$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{CH}=（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）•（\frac{12}{5}，\frac{3}{5}）=\frac{18}{5}+\frac{9}{10}$=$\frac{9}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求過(guò)兩點(diǎn)的直線方程，根據(jù)直線方程可求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．