Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=

2

A₁C=

2

CA=

2

AB，AB⊥AC，D為AA₁中點
（1）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在側棱BB₁上確定一點E，使得二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值為

5

5

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知中側面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性質定理可得AB⊥面ACC₁A₁，進而AB⊥CD，由AC=A₁C，D為AA₁中點，根據等腰三角形“三線合一”可得CD⊥AA₁，結合線面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標系C-xyz，由

BE

=λ

BB1

，可得E點坐標為（（1-λ）a，a，λa）．求出面A₁C₁A的一個法向量和平面EA₁C₁的一個法向量，根據二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值為

5

5

，構造方程組，解出λ值后，可得E點的位置．

解答： （1）證明：∵AB⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，
∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點，則CD⊥AA₁
∴CD⊥面ABB₁A₁…（4分）
（2）解：如圖所示建立空間直角坐標系C-xyz，設AB=a，
則有A（a，0，0），B（，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a）C₁（-a，0，a），
設E（x′，y′，z′），且

BE

=λ

BB1

，即有（x′-a，y′-a，z′）=λ（-a，0，a），
所以E點坐標為（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）
由條件易得面A₁C₁A的一個法向量為

n1

=（0，1，0），
設平面EA₁C₁地一個法向量為

n2

=（x，y，z），則

-ax=0 (1-λ)ax+ay+(λ-1)az=0 ; ; ;

令y=1，則有

n2

=（0，1，

1

1-λ

），…（10分）
則

1

1+ 1 (1-λ)2

=

5

5

，得λ=

1

2

所以，當E是側棱BB₁的中點時，二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值為

5

5

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，（2）的關鍵是設出E點坐標，求出面A₁C₁A的一個法向量和平面EA₁C₁的一個法向量，并根據二面角E-A₁C₁-A的平面角的余弦值為

5

5

，構造方程．