Question

5．一種放射性元素，最初的質量為500克，按每年10%衰減．
（1）求t年后，這種放射性元素的質量w的表達式；
（2）用求出的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期．（放射性元素的原子核有半數發生衰變時所需要的時間，叫“半衰期”）（lg0.5≈-0.3010，lg0.9≈-0.0458，結果精確到0.1）．

Answer 1

分析 （1）根據最初的質量為500克，按每年10%衰減，可得t年后，這種放射性元素的質量w的表達式；
（2）根據題意得，解方程500×0.9^t=250，兩邊取對數，再用換底公式變形，代入已知數據可得x的近似值，四舍五入即可得出正確答案．

解答 解：（1）最初的質量為500g，
經過1年后，ω=500（1-10%）=500×0.9¹，
經過2年后，ω=500×0.9（1-10%）=500×0.9²，
由此推知，t年后，ω=500×0.9^t，
∴t年后，ω關于t的表達式為ω=500×0.9^t．    …6 分
（2）根據題意得，解方程500×0.9^t=250，0.9^t=0.5
∴lg0.9^t=lg0.5，∴tlg0.9=lg0.5，
∴t=$\frac{lg0.5}{lg0.9}$≈6.6（年），
即這種放射性元素的半衰期約為6.6年．…6 分

點評 本題以實際問題為載體，考查指數函數模型的構建，考查解指數方程，屬于中檔題．