Question

12．如圖，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC為等邊三角形，F，G分別是AB，CD的中點．求證．
（Ⅰ）平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求平面ADE與平面EFG所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE、BE的中點M，N，連結MN、MD、CN，推導出四邊形CDMN為平行四邊形，從而MD⊥面ABE，由此能證明面ABE⊥面ADE．
（Ⅱ）以BC中點O為原點，OE為x軸，OC為y軸，垂直BC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ADE與平面EFG所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AE、BE的中點M，N，
連結MN、MD、CN，
∵AB⊥面BEC，MN∥AB，
∴NM⊥平面BEC，∴NM⊥CN，
又∵CN⊥BE，∴CN⊥面ABE．
又∵MN$\underset{∥}{=}$CD，∴四邊形CDMN為平行四邊形，
∴CN$\underset{∥}{=}$MD，∴MD⊥面ABE，
又∵MD?面ADE，∴面ABE⊥面ADE．
解：（Ⅱ）如圖，以BC中點O為原點，OE為x軸，OC為y軸，
垂直BC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，-2，4），B（0，-2，0），C（0，2，0），
D（0，2，2），E（2$\sqrt{3}$，0，0），F（0，-2，2），G（0，2，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，2，-4），$\overrightarrow{EF}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，2），$\overrightarrow{EG}$=（-2$\sqrt{3}$，2，1），
設平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=4y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{3}x+2y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
同理，得平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，4），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴平面ADE與平面EFG所成的銳二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．