Question

設函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，以下關于f（x）的導函數f′（x）說法正確的有（　　）
①其圖象可由y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到；     
②其圖象關于直線x=

π

12

對稱；
③其圖象關于點（

π

3

，0）對稱；                   
④在區間（-

π

6

，0）上是增函數．

A．①②③

B．②③④

C．③④

D．①②③④

Answer 1

分析：化簡f（x），求導數f'（x），利用三角函數的性質分別進行判斷即可．

解答：解：∵f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），∴f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．
①將y=2sin2x 向左平移

π

3

 得到y=sin2（x+

π

3

）=sin（2x+

2π

3

），∴①錯誤．
②當x=

π

12

時，f'（

π

12

）=2cos（2×

π

12

-

π

6

）=2cos0=2，為函數f'（x）的最大值，∴函數f'（x）關于x=

π

12

對稱，∴②正確．
③當x=

π

3

時，f'（

π

3

）=2cos（2×

π

3

-

π

6

）=2cos

π

2

=0，∴圖象關于點（

π

3

，0）對稱，∴③正確．
④當-

π

6

＜x＜0，-

π

3

＜2x＜0，-

π

2

＜2x-

π

6

＜-

π

6

，則函數f'（x）=2cos（2x-

π

6

）．在區間（-

π

6

，0）上是增函數．∴④正確．
故正確的是②③④．
故選：B．

點評：本題主要考查導數的基本運算，以及三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握三角函數的圖象和性質的應用．