Question

（2013•山東）設(shè)函數(shù)f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[π，

3π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的正確求出ω的值
（Ⅱ）通過x 的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性直接求解f（x）在區(qū)間[π，

3π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx
=

3

2

-

3

•

1-cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx
=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx
=-sin(2ωx-

π

3

)．
因?yàn)閥=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

，故周期為π
又ω＞0，所以

2π

2ω

=4×

π

4

，解得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=-sin（2x-

π

3

），
當(dāng)π≤x≤

3π

2

時(shí)，

5π

3

≤2x-

π

3

≤

8π

3

，
所以-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
因此，-1≤f（x）≤

3

2

，
所以f（x）在區(qū)間[π，

3π

2

]上的最大值和最小值分別為：

3

2

， -1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的值域與單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．