Question

已知

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）其中x∈[

π

6

，

π

2

]，設函數f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

（1）求函數f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函數f（x-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）設函數f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

，根據平面向量的數量積公式，我們易求出函數f（x）的解析式，進而根據二倍角公式和輔助角公式，可將函數f（x）的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的圖象和性質及其中x∈[

π

6

，

π

2

]，求出函數f（x）的值域；
（2）根據（1）中函數的解析式，及f（x）=8 我們可以求出2x+

π

6

的正弦值，進而根據2x+

π

6

的范圍求出其余弦值，進而根據f（x-

π

12

）=5sin2x+5=5sin（2x+

π

6

-

π

6

）+5結合兩角差的正弦公式得到答案．

解答：解：（1）∵

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）
函數f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

=5

3

cosx•sinx+2cosx•cosx+sin²x+4cos²x+

3

2

…（2分）
=5

3

cosx•sinx+5cos²x+

5

2

=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+5
=5sin（2x+

π

6

）+5                              …（5分）
由∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1…（7分）
即x∈[

π

6

，

π

2

]時，函數f（x）的值域為[

5

2

，10]…（8分）
（2）∵f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5=8
則sin（2x+

π

6

）=

3

5

，…（9分）
又∵

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴cos（2x+

π

6

）=-

4

5

  …（11分）
∴f（x-

π

12

）=5sin2x+5
=5sin（2x+

π

6

-

π

6

）+5
=5[sin（2x+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x+

π

6

）sin

π

6

]+5
=5（

3

5

•

3

2

+

4

5

•

1

2

）+5
=

3 3

2

+7 …（14分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，三角函數的圖象和性質，二倍角公式，輔助角公式，是平面向量和三角函數比較綜合的應用，其中根據平面向量的數量積公式、二倍角公式和輔助角公式，求出函數f（x）的解析式是解答本題的關鍵．