Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，記函數f(x)=

a

•

b

+|

b

|2．
（1）求函數f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則列出f（x）的解析式，利用同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦、余弦函數公式化簡后，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根據正弦函數的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（2）由第一問確定出的f（x），根據正弦函數的單調遞增區間，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調遞增區間．

解答：解：因為

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+2cos2x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+6cos2x+sin²x
=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3(1+cos2x)
=

5 3 sin2x+5cos2x+7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
∴T=

2π

2

=π．
當x∈{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}時，f（x）的最大值為

17

2

．
當x∈{x|x=

2π

3

+kπ，k∈Z}時，f（x）的最小值為-

3

2

．
（2）f（x）的單調增區間為：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
令k=0，-

π

3

≤x≤

π

6

∴0≤x≤

π

6

，
k=1，

2π

3

≤x≤

7π

6

∴

2π

3

≤x≤π．
f（x）在[0，π]上的單調遞增區間：[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點評：此題考查了平面向量的數量積的運算，三角函數的周期及其求法，三角函數的最值，以及正弦函數的單調性．利用平面向量的數量積的運算法則及三角函數的恒等變換確定出f（x）的解析式是解本題的關鍵．