Question

關于函數，下列命題正確的是——（寫出所有正確命題的編號）

①不論a，b取什么值，函數f（x）的圖像都關于原點對稱.

②若a=b≠0，則函數f（x）的極小值是2a，極大值是-2a.

③當ab≠0時，函數f（x）圖像上任意一點的切線都不可能經過原點.

④當a>0，b>0時，對函數f（x）圖像上任意一點A，圖像上存在唯一的點B，使得.（點O是坐標原點）

⑤當ab≠0時，函數f（x）圖像上任意一點的切線與直線y=ax及y軸圍成的三角形的面積是定值.

 

Answer 1

①③⑤

【解析】

試題分析：對于①，∵ ，所以①正確;對于②，當a=b>0時，，當x>1或x<-1時，f（x）單調遞增，-1<x<1時，f（x）單調遞減，所以f（1）=2a為極小值，f（-1）=-2a為極大值；當a=b<0時，，當x>1或x<-1時，f（x）單調遞減，-1<x<1時，f（x）單調遞增，所以f（1）=2a為極大值，f（-1）=-2a為極小值；故②錯誤；

對于③，假設當ab≠0時，函數f（x）圖像上任意一點的切線可能經過原點，故設切線方程為，將與聯立，得，當k=a時，b=0,與題設矛盾；當k>a，b>0時，令

所以，這與k>a，b>0時矛盾；當k<a，b<0時，令

所以，這與k<a，b<0時矛盾；綜上假設不成立，故③錯誤；對于④，假設④成立，設a=b=1，設A（1,2）,B（），可知，方程無解，故假設不成立，即④錯誤；對于⑤，設切點坐標為（），所以切線方程為：，令x=0，得；聯立得，故所圍三角形的面積是，故⑤正確.

考點：1.函數的奇偶性；2.函數的極值；3.導數研究函數的切線.