Question

已知x∈[0，1]，函數f(x)=x2-ln(x+

1

2

)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求f（x）的單調區間和值域；
（2）設a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總?x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍；
（3）對于任意的正整數n，證明ln(

1

n

+

1

2

)＞

1

n2

-

2

n

-1．（注：[ln(x+

1

2

)]/=

1

x+ 1 2

）

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0可得極值點，列出隨x變化時f′（x），f（x）的變化表，由表可知單調區間，根據單調性可得最值，進而得到值域；
（2）利用導數可判斷g（x）在[0，1]上的單調性，從而可求值域為[1-4a-3a²，-4a]，由題意，得[1-4a-3a2，-4a]?[

1

4

，ln2]，由此可得不等式組，解出即可；
（3）構造函數h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+

1

2

)，利用導數可判斷h（x）在[0，1]上的單調性，根據單調性可證h（x）＞h（0）＞0，整理該不等式后令x=

1

n

即可；

解答：解：（1）令f/(x)=2x-

1

x+ 1 2

=0，解得x=

1

2

，x=-1舍去．
由下表：

x	0	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	ln2		1 4		1-ln 3 2

可知，f（x）的單調遞減區間是（0，

1

2

），遞增區間是（

1

2

，1）； 
f（x）在

1

2

處取得極小值，也為最小值，
又

1

4

=ln

4	e

＜1-ln

3

2

=ln

2e

3

＜ln2，
故當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[

1

4

，ln2]；
（2）∵g'（x）=3（x²-a²），
∴當a≤-1，x∈（0，1）時，g'（x）＜3（1-a²）≤0，
∴g（x）為[0，1]上的減函數，從而當x∈[0，1]時有g（x）∈[g（1），g（0）]=[1-4a-3a²，-4a]． 
由題意，得[1-4a-3a2，-4a]?[

1

4

，ln2]，
即

1-4a-3a2≤ 1 4 -4a≥ln2 a≤-1

，解得a≤-

3

2

，
故a的取值范圍為a≤-

3

2

．                               
（3）構造函數h(x)=(2x+1)-f(x)=-x2+2x+1+ln(x+

1

2

)，
則h′(x)=2-2x+

2

2x+1

=2(1-x)+

2

2x+1

，
當x∈[0，1]時，h′（x）＞0，∴函數h（x）在[0，1]上單調遞增，
又h（0）=1-ln2＞0，
∴x∈[0，1]時，恒有h（x）＞h（0）＞0，即2x+1＞x2-ln(x+

1

2

)恒成立，
故對任意正整數n，取x=

1

n

∈[0，1]，有ln(

1

n

+

1

2

)＞

1

n2

-

2

n

-1．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的最值，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力，解決（3）問的關鍵是根據目標式恰當構造函數．